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प्रकाश का व्यतिकरण और उसका गणितीय विश्लेषण

इस व्याख्यान में तरंगों के मूलभूत घटकों जैसे आवृत्ति, आयाम, तरंगदैर्घ्य और आवर्तकाल की बुनियादी अवधारणाओं का पुनरावलोकन कराया गया है। इसके बाद प्रकाश के व्यतिकरण, संपोषी और विनाशी व्यतिकरण की परिभाषा और स्थितियों को समझाया गया है। अंत में दो तरंगों के अध्यारोपण से परिणामी तरंग के आयाम तथा कलान्तर के गणितीय सूत्र व्युत्पन्न किए गए हैं।

Class 12 Science
JEE
NEET
Physics
हिन्दी
· 5 topics
Checked against the video on 19 Oct 2026

Made by AI from the YouTube video 12th Physics | L-4 :- Interference (व्यतिकरण) | तरंग प्रकाशिकी (Wave Optics) (opens YouTube in a new tab) by ashish singh lectures, then checked against it. All credit for the teaching goes to the creator. Tap a topic’s time to confirm a fact in the video.

प्रकाश का व्यतिकरण और उसका गणितीय विश्लेषण

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इस व्याख्यान में तरंगों के मूलभूत घटकों जैसे आवृत्ति, आयाम, तरंगदैर्घ्य और आवर्तकाल की बुनियादी अवधारणाओं का पुनरावलोकन कराया गया है। इसके बाद प्रकाश के व्यतिकरण, संपोषी और विनाशी व्यतिकरण की परिभाषा और स्थितियों को समझाया गया है। अंत में दो तरंगों के अध्यारोपण से परिणामी तरंग के आयाम तथा कलान्तर के गणितीय सूत्र व्युत्पन्न किए गए हैं।

तरंगों की बुनियादी अवधारणाएं

तरंग की आवृत्ति (frequency) किसी दिए गए बिंदु से एक सेकंड में गुजरने वाली तरंगों की संख्या होती है।
मध्यमान स्थिति से तरंग का धनात्मक या ऋणात्मक दिशा में अधिकतम विस्थापन उसका आयाम (amplitude) कहलाता है।
तरंगदैर्घ्य (wavelength) एक पूरी तरंग की कुल लंबाई होती है, जिसे दो क्रमागत श्रृंगों अथवा दो क्रमागत गर्तों के बीच की दूरी के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।
Must knowएक पूरी तरंग को किसी बिंदु से गुजरने में लगे समय को आवर्तकाल (Time period) कहते हैं।
आवर्तकाल और आवृत्ति में व्युत्क्रमानुपाती संबंध होता है, अर्थात आवर्तकाल = 1 / आवृत्ति।

व्यतिकरण की परिभाषा और प्रकार

जब समान आवृत्ति की दो तरंगें एक ही दिशा में संचरित होकर आपस में मिलती हैं, तो इसे तरंगों का अध्यारोपण (superposition) कहा जाता है।
Must knowदो समान आवृत्ति की तरंगों के अध्यारोपण से कुछ स्थानों पर परिणामी तीव्रता अधिकतम तथा कुछ स्थानों पर न्यूनतम होने की परिघटना को व्यतिकरण (interference) कहते हैं।
जिस स्थान पर परिणामी तरंग का आयाम या तीव्रता अधिकतम होती है, उसे संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) कहा जाता है।
जिस स्थान पर परिणामी तरंग का आयाम या तीव्रता न्यूनतम अथवा शून्य होती है, उसे विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) कहा जाता है।

व्यतिकरण का गणितीय विश्लेषण

पहली तरंग का विस्थापन समीकरण y1 = a1 sin ωt तथा दूसरी तरंग का समीकरण y2 = a2 sin(ωt + φ) लिया जाता है, जहाँ φ दोनों तरंगों के बीच का कलान्तर (phase difference) है।
तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत से परिणामी तरंग का विस्थापन y = y1 + y2 होता है।
त्रिकोणमितीय सूत्र sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B की सहायता से परिणामी तरंग समीकरण y = (a1 + a2 cos φ) sin ωt + (a2 sin φ) cos ωt प्राप्त होता है।
गणितीय सरलीकरण के लिए a1 + a2 cos φ = R cos θ तथा a2 sin φ = R sin θ माना जाता है।
Must knowइन प्रतिस्थापनों के पश्चात परिणामी तरंग का सरल आवर्त समीकरण y = R sin(ωt + θ) प्राप्त होता है, जहाँ R परिणामी आयाम है।

परिणामी आयाम का सूत्र व्युत्पन्न करना

मानी गई दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर R² cos² θ + R² sin² θ = (a1 + a2 cos φ)² + (a2 sin φ)² प्राप्त होता है।
कोष्ठक खोलने पर R² (cos² θ + sin² θ) = a1² + a2² cos² φ + 2 a1 a2 cos φ + a2² sin² φ बनता है।
cos² φ + sin² φ = 1 और cos² θ + sin² θ = 1 रखने पर R² = a1² + a2² + 2 a1 a2 cos φ प्राप्त होता है।
Must knowदो तरंगों के अध्यारोपण से परिणामी तरंग का आयाम R = √[a1² + a2² + 2 a1 a2 cos φ] होता है।

संपोषी और विनाशी व्यतिकरण की शर्तें

Must knowसंपोषी व्यतिकरण के लिए परिणामी आयाम R अधिकतम होना चाहिए, जिसके लिए cos φ का मान अधिकतम अर्थात +1 होना अनिवार्य है।
cos φ = +1 होने पर कलान्तर φ का मान 0, 2π, 4π, 6π ... अर्थात 2nπ (जहाँ n = 0, 1, 2, ...) होता है।
Must knowसंपोषी व्यतिकरण में परिणामी तरंग का अधिकतम आयाम Rmax = a1 + a2 होता है।
Must knowविनाशी व्यतिकरण के लिए परिणामी आयाम न्यूनतम होना चाहिए, जिसके लिए cos φ का मान न्यूनतम अर्थात -1 होना चाहिए।
cos φ = -1 होने पर कलान्तर φ का मान π, 3π, 5π, 7π ... अर्थात (2n - 1)π (जहाँ n = 1, 2, 3, ...) या (2n + 1)π (जहाँ n = 0, 1, 2, ...) होता है।
Must knowविनाशी व्यतिकरण में परिणामी तरंग का न्यूनतम आयाम Rmin = a1 - a2 होता है।

Key terms

आवृत्ति (Frequency): एक सेकंड में किसी बिंदु से गुजरने वाली तरंगों अथवा चक्रों की संख्या
आयाम (Amplitude): तरंग संचरण में मध्यमान स्थिति से किसी कण का होने वाला अधिकतम विस्थापन
तरंगदैर्घ्य (Wavelength): एक पूर्ण तरंग की लंबाई या दो क्रमागत श्रृंगों/गर्तों के मध्य की दूरी
आवर्तकाल (Time period): एक पूरी तरंग के किसी बिंदु से गुजरने में लगने वाला समय
अध्यारोपण (Superposition): दो या दो से अधिक तरंगों का एक ही माध्यम में एक साथ परस्पर मिलना
व्यतिकरण (Interference): समान आवृत्ति की दो तरंगों के अध्यारोपण के कारण तीव्रता का असमान पुनर्वितरण
संपोषी व्यतिकरण (Constructive Interference): वह व्यतिकरण जहाँ दोनों तरंगें समान कला में मिलकर अधिकतम आयाम व तीव्रता देती हैं
विनाशी व्यतिकरण (Destructive Interference): वह व्यतिकरण जहाँ दोनों तरंगें विपरीत कला में मिलकर न्यूनतम आयाम व तीव्रता देती हैं
कलान्तर (Phase difference): दो तरंगों की कलाओं के बीच का कोणीय अंतर

Formulas

T = 1 / ν: आवर्तकाल (T) और आवृत्ति (ν) के मध्य संबंध
y = R sin(ωt + θ): अध्यारोपण के पश्चात परिणामी तरंग का विस्थापन समीकरण
R = √[a1² + a2² + 2 a1 a2 cos φ]: व्यतिकरण में परिणामी तरंग का आयाम
Rmax = a1 + a2: संपोषी व्यतिकरण में अधिकतम परिणामी आयाम
Rmin = a1 - a2: विनाशी व्यतिकरण में न्यूनतम परिणामी आयाम
φ = 2nπ (n = 0, 1, 2...): संपोषी व्यतिकरण के लिए कलान्तर की शर्त
φ = (2n - 1)π (n = 1, 2...): विनाशी व्यतिकरण के लिए कलान्तर की शर्त

Quick revision

एक सेकंड में किसी बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या आवृत्ति कहलाती है।
दो क्रमागत श्रृंगों अथवा दो क्रमागत गर्तों के बीच की दूरी को तरंगदैर्घ्य (λ) कहते हैं।
आवर्तकाल (T) आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है (T = 1 / आवृत्ति)।
व्यतिकरण के लिए दोनों तरंगों की आवृत्ति एकसमान होनी चाहिए।
व्यतिकरण में जिस स्थान पर परिणामी आयाम अधिकतम होता है उसे संपोषी व्यतिकरण कहते हैं।
जिस स्थान पर परिणामी आयाम न्यूनतम या शून्य होता है उसे विनाशी व्यतिकरण कहते हैं।
संपोषी व्यतिकरण के लिए cos φ = +1 होना चाहिए।
संपोषी व्यतिकरण के लिए कलान्तर φ का मान 2nπ होना चाहिए।
संपोषी व्यतिकरण में अधिकतम आयाम Rmax = a1 + a2 प्राप्त होता है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए cos φ = -1 होना चाहिए।
विनाशी व्यतिकरण के लिए कलान्तर φ का मान (2n - 1)π होना चाहिए।
विनाशी व्यतिकरण में न्यूनतम परिणामी आयाम Rmin = a1 - a2 प्राप्त होता है।

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