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कक्षा 10 गणित: बहुपद (Polynomials) संपूर्ण रिवीजन Notes in Hindi

कक्षा 10 गणित: बहुपद (Polynomials) संपूर्ण रिवीजन

यह कक्षा 10 के गणित अध्याय 2 "बहुपद" पर एक वन-शॉट रिवीजन क्लास है। इसमें बहुपद की परिभाषा, पदों और घात के आधार पर प्रकार, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध और बोर्ड परीक्षा के महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ एवं लघु उत्तरीय प्रश्नों को हल कराया गया है।

Class 10
Maths
हिन्दी · 7 topics
Checked against the video on 23 Oct 2026

Made by AI from the YouTube video Polynomial | बहुपद | Class 10 Math Chapter 2 One Shot | 10th Math Chapter 2 Bihar Board 2027 (opens YouTube in a new tab) by TARGET BOARD, then checked against it. All credit for the teaching goes to the creator. Tap a topic’s time to confirm a fact in the video.

कक्षा 10 गणित: बहुपद (Polynomials) संपूर्ण रिवीजन

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In short

यह कक्षा 10 के गणित अध्याय 2 "बहुपद" पर एक वन-शॉट रिवीजन क्लास है। इसमें बहुपद की परिभाषा, पदों और घात के आधार पर प्रकार, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध और बोर्ड परीक्षा के महत्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ एवं लघु उत्तरीय प्रश्नों को हल कराया गया है।

बहुपद की परिभाषा एवं सामान्य रूप

ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें एक चर हो और चर की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या (Whole number) के रूप में हो, उसे बहुपद (Polynomial) कहते हैं।
Must knowबहुपद का मानक रूप a0 x⁰ + a1 x¹ + a2 x² + ... + an xⁿ होता है, जहाँ a0, a1, a2, ..., an बहुपद के गुणांक (Coefficients) हैं।
यदि किसी व्यंजक में चर राशि करणी (Root) में हो, चर की घात भिन्न या ऋणात्मक हो, अथवा चर हर (Denominator) में हो, तो वह बहुपद नहीं होता है।

पद के आधार पर बहुपद के प्रकार

पदों की संख्या के अनुसार बहुपदों को मुख्य रूप से तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है।
Must knowजिस बहुपद में केवल एक पद होता है, उसे एकपदी बहुपद (Monomial) कहते हैं, जैसे: 3x, 5x², 7y³।
जिस बहुपद में केवल दो पद होते हैं, उसे द्विपदी बहुपद (Binomial) कहा जाता है, जैसे: 3x + 5, 5x² + 3x।
जिस बहुपद में केवल तीन पद होते हैं, उसे त्रिपदी बहुपद (Trinomial) कहा जाता है, जैसे: 2x² + 5x + 6।
जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य होते हैं, उसे शून्य बहुपद (Zero polynomial) कहते हैं और शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है।
वास्तविक संख्या वाले केवल एक पद के बहुपद को अचर बहुपद (Constant polynomial) कहते हैं और अचर बहुपद की घात हमेशा शून्य (0) होती है।

घात के आधार पर बहुपद के प्रकार

Must knowजिस बहुपद में चर की अधिकतम घात 1 हो, उसे रैखिक बहुपद (Linear polynomial) कहते हैं; इसका व्यापक रूप ax + b (जहाँ a ≠ 0) होता है।
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है और इसमें शून्यकों की अधिकतम संख्या भी 1 होती है।
रैखिक बहुपद के शून्यक (α) और गुणांकों के बीच संबंध α = -b / a = -(अचर पद) / (x का गुणांक) होता है।
जिस बहुपद में चर की अधिकतम घात 2 हो, उसे द्विघात बहुपद (Quadratic polynomial) कहते हैं; इसका व्यापक रूप ax² + bx + c (a ≠ 0) होता है।
द्विघात बहुपद के शून्यकों की संख्या 2 होती है जिन्हें α और β माना जाता है; इसका आलेख (Graph) परवलय (Parabola) के आकार का होता है।
जिस बहुपद में चर की अधिकतम घात 3 हो, उसे त्रिघात बहुपद (Cubic polynomial) कहते हैं; इसका व्यापक रूप ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) होता है और इसके शून्यकों की संख्या 3 (α, β, γ) होती है।

बहुपद का प्रकार	व्यापक रूप	घात	शून्यकों की संख्या
रैखिक बहुपद	ax + b	1	1
द्विघात बहुपद	ax² + bx + c	2	2
त्रिघात बहुपद	ax³ + bx² + cx + d	3	3

शून्यकों एवं गुणांकों के बीच संबंध तथा सूत्र

Must knowद्विघात बहुपद में शून्यकों का योगफल (α + β) = -b / a = -(x का गुणांक) / (x² का गुणांक) होता है।
Must knowद्विघात बहुपद में शून्यकों का गुणनफल (α · β) = c / a = (अचर पद) / (x² का गुणांक) होता है।
शून्यक ज्ञात होने पर द्विघात बहुपद बनाने का सूत्र x² - (α + β)x + α · β होता है।
त्रिघात बहुपद के शून्यकों का योगफल α + β + γ = -b / a होता है।
त्रिघात बहुपद में दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योगफल αβ + βγ + γα = c / a और तीनों शून्यकों का गुणनफल αβγ = -d / a होता है।
त्रिघात बहुपद बनाने का सूत्र x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x - αβγ होता है।
किसी बहुपद में चर की उच्चतम घात को ही बहुपद की घात (Degree of polynomial) कहा जाता है।

बहुपदों की पहचान और घात से संबंधित वस्तुनिष्ठ प्रश्न

यदि चर रूट के अंदर हो, चर पर भिन्न घात हो या चर 1/x के रूप में हो, तो वह व्यंजक बहुपद नहीं होता है।
Must knowजब दो बहुपदों p(x) तथा g(x) का भागफल p(x)/g(x) दिया हो, तो भागफल की घात दोनों बहुपदों की घातों का अंतर [घात p(x) - घात g(x)] होती है।
जब दो बहुपदों p(x) तथा g(x) का गुणनफल p(x) · g(x) दिया हो, तो परिणामी बहुपद की घात दोनों बहुपदों की घातों का योग [घात p(x) + घात g(x)] होती है।
उदाहरण: यदि p(x) की घात 6 और g(x) की घात 2 है, तो p(x)/g(x) की घात 6 - 2 = 4 होगी।
किसी बहुपद में x = k रखने पर प्राप्त मान उस बहुपद का f(k) मान कहलाता है।

शून्यक एवं संबंध आधारित वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहुपद x² - 11 = 0 को हल करने पर x² = 11 प्राप्त होता है, जिससे इसके दो शून्यक √11 और -√11 निकलते हैं।
Must knowयदि किसी द्विघात बहुपद के दो शून्यक दिए गए हों, तो उन शून्यकों वाले अनगिनत (Infinite) द्विघात बहुपद बनाए जा सकते हैं।
यदि किसी द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम (Reciprocal) हों, तो शून्यकों का गुणनफल α · β = 1 होता है, जिससे c / a = 1 अर्थात c = a प्राप्त होता है।
यदि द्विघात बहुपद के मूल परिमाण में बराबर परंतु विपरीत चिह्न के हों (α = -β), तो मूलों का योग α + β = 0 होता है, जिससे -b / a = 0 अर्थात b = 0 होता है।
व्यंजक (1/α + 1/β) का मान (α + β) / (α · β) = (-b / a) / (c / a) = -b / c होता है।

द्विघात बहुपद निर्माण तथा शून्यक सत्यापन के लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न: द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग -3 और गुणनफल 2 है।
- सूत्र x² - (α + β)x + αβ में मान रखने पर: x² - (-3)x + 2 = x² + 3x + 2 उत्तर प्राप्त होता है।
Must knowप्रश्न: यदि बहुपद 2x² - 7x + 3 के शून्यक p तथा q हैं, तो p² + q² का मान ज्ञात करें।
- शून्यकों का योग p + q = -(-7)/2 = 7/2 तथा गुणनफल pq = 3/2 होगा।
- सर्वसमिका p² + q² = (p + q)² - 2pq लगाने पर: (7/2)² - 2(3/2) = 49/4 - 3 = 37/4 उत्तर प्राप्त होता है।
प्रश्न: बहुपद 3x² - x - 4 के शून्यक ज्ञात करें और संबंधों की सत्यता की जांच करें।
- मध्य पद को तोड़कर गुणनखंड करने पर (3x - 4)(x + 1) प्राप्त होता है, जिससे शून्यक α = 4/3 और β = -1 निकलते हैं।
- शून्यकों का योग 4/3 + (-1) = 1/3 तथा -b/a = -(-1)/3 = 1/3 दोनों बराबर सिद्ध होते हैं।
- शून्यकों का गुणनफल (4/3)(-1) = -4/3 तथा c/a = -4/3 दोनों बराबर सिद्ध होकर सत्यापित होते हैं।

Key terms

बहुपद (Polynomial): एक चर वाला ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर का घात हमेशा एक पूर्ण संख्या हो
शून्य बहुपद (Zero Polynomial): ऐसा बहुपद जिसके सभी गुणांक शून्य होते हैं; इसकी घात अपरिभाषित होती है
अचर बहुपद (Constant Polynomial): केवल एक वास्तविक संख्या पद वाला बहुपद; इसकी घात शून्य (0) होती है
रैखिक बहुपद (Linear Polynomial): घात 1 वाला बहुपद जिसका व्यापक रूप ax + b होता है
द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial): घात 2 वाला बहुपद जिसका व्यापक रूप ax² + bx + c होता है
त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial): घात 3 वाला बहुपद जिसका व्यापक रूप ax³ + bx² + cx + d होता है
परवलय (Parabola): द्विघात बहुपद के ग्राफ का वक्र आकार

Formulas

रैखिक बहुपद का शून्यक: α = -b / a
द्विघात बहुपद के शून्यकों का योगफल: α + β = -b / a
द्विघात बहुपद के शून्यकों का गुणनफल: α · β = c / a
द्विघात बहुपद निर्माण सूत्र: p(x) = x² - (α + β)x + α · β
शून्यकों के व्युत्क्रम का योग: 1/α + 1/β = -b / c
शून्यकों के वर्गों का योग: α² + β² = (α + β)² - 2αβ
त्रिघात बहुपद के शून्यकों का योग: α + β + γ = -b / a
त्रिघात बहुपद के दो-दो शून्यकों के गुणनफलों का योग: αβ + βγ + γα = c / a
त्रिघात बहुपद के शून्यकों का गुणनफल: αβγ = -d / a

Exam tips and traps

यदि परीक्षा में दिया हो कि द्विघात बहुपद के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं, तो सीधे c = a का प्रयोग करके अज्ञात राशि का मान निकालें।
यदि प्रश्न में शून्यक दिए हों (जैसे 4 और 7) न कि योग और गुणनफल, तो पहले α + β और α · β निकालें, फिर सूत्र में रखें।

Quick revision

Read these the night before the exam.

बहुपद में चर की घात हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक या शून्य (पूर्ण संख्या) ही हो सकती है।
शून्य बहुपद की घात अपरिभाषित होती है।
अचर बहुपद (जैसे 5, -3) की घात हमेशा 0 होती है।
रैखिक बहुपद का अधिकतम 1 शून्यक, द्विघात के 2 और त्रिघात के अधिकतम 3 शून्यक होते हैं।
द्विघात बहुपद ax² + bx + c का आलेख परवलयाकार (Parabolic) होता है।
दो बहुपदों के गुणनफल की घात उनकी अलग-अलग घातों का योग होती है।
दो बहुपदों के भागफल p(x)/g(x) की घात [घात p(x) - घात g(x)] होती है।
किसी द्विघात बहुपद के दिए गए दो शून्यकों से अनगिनत द्विघात बहुपद बनाए जा सकते हैं।
यदि द्विघात बहुपद के मूल समान तथा विपरीत चिह्न के हों, तो x का गुणांक (b) शून्य होता है।

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