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संख्या पद्धति: संख्याओं का वर्गीकरण (Classification of Numbers) Notes in Hindi

संख्या पद्धति: संख्याओं का वर्गीकरण (Classification of Numbers)

यह कक्षा 'दफ़्तर सीरीज़' के तहत संख्या पद्धति (Number System) के पहले भाग पर आधारित है, जिसमें सम्मिश्र, वास्तविक, काल्पनिक, परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का पूरा वर्गीकरण समझाया गया है। इसमें शांत (Terminating), असांत (Non-terminating), शुद्ध आवर्ती (Pure Recurring) और मिश्रित आवर्ती (Mixed Recurring) दशमलव की अवधारणाओं को विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं के प्रश्नों के साथ हल किया गया है।

SSC
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Maths
हिन्दी · 10 topics
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संख्या पद्धति: संख्याओं का वर्गीकरण (Classification of Numbers)

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In short

यह कक्षा 'दफ़्तर सीरीज़' के तहत संख्या पद्धति (Number System) के पहले भाग पर आधारित है, जिसमें सम्मिश्र, वास्तविक, काल्पनिक, परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का पूरा वर्गीकरण समझाया गया है। इसमें शांत (Terminating), असांत (Non-terminating), शुद्ध आवर्ती (Pure Recurring) और मिश्रित आवर्ती (Mixed Recurring) दशमलव की अवधारणाओं को विभिन्न प्रतियोगी परीक्षाओं के प्रश्नों के साथ हल किया गया है।

सीरीज़ परिचय और सत्र योजना

यह कक्षा 'दफ़्तर सीरीज़' के अंतर्गत संख्या पद्धति (Number System) की पहली क्लास है।
सत्र योजना के अनुसार इस अध्याय को तीन मुख्य कक्षाओं में विभाजित किया गया है।
पहली कक्षा में संख्याओं का वर्गीकरण (Classification of Numbers) पढ़ाया जाएगा, जिसमें कक्षा में 35 प्रश्न और 10 DPQ प्रश्न शामिल हैं।
दूसरी कक्षा में अभाज्य संख्या (Prime Number), इकाई अंक (Unit Digit) और गुणनखंड (Factor) को कवर किया जाएगा।
तीसरी कक्षा में विभाज्यता के नियम (Divisibility) और शेषफल प्रमेय (Remainders) पढ़ाया जाएगा।

संख्याओं का वर्गीकरण: सम्मिश्र, वास्तविक और काल्पनिक संख्याएँ

सबसे पहले सभी संख्याएँ सम्मिश्र संख्या (Complex Number) के रूप a + ib में व्यक्त की जाती हैं।
सम्मिश्र संख्या दो भागों में विभाजित होती है: वास्तविक संख्या (Real Number) और काल्पनिक संख्या (Imaginary Number)।
वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) वे संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा (Number line) पर दर्शाया जा सकता है (उदा. 3, -7, 5, √5)।
काल्पनिक संख्याएँ (Imaginary Numbers) वे संख्याएँ हैं जिन्हें संख्या रेखा पर नहीं दर्शाया जा सकता है, जैसे i = √-1 (इओटा)।
Must knowवास्तविक संख्या (Real Number) का कोई भी उपसमूह सम्मिश्र संख्या (Complex Number) नहीं हो सकता, बल्कि सम्मिश्र संख्या वास्तविक संख्याओं का मूल (Parent) सेट है।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की अवधारणा व प्रश्न

वास्तविक संख्याएँ दो भागों में विभाजित होती हैं: परिमेय संख्या (Rational Number) और अपरिमेय संख्या (Irrational Number)।
परिमेय संख्या (Rational Number) वह संख्या है जिसे p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक (Integers) हैं तथा q ≠ 0 है।
अपरिमेय संख्या (Irrational Number) वह संख्या है जिसे p/q के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता (उदा. √2, √3, √7)।
Must knowयदि किसी संख्या के ऊपर वर्गमूल लगा हो और उसका वर्गमूल एक पूर्ण मान (Integer) न निकले, तो वह अपरिमेय संख्या कहलाती है, जैसे √7।
संख्या रेखा (Number line) पर स्थित प्रत्येक बिंदु वास्तविक संख्या (Real Number) को दर्शाता है।

संख्या का प्रकार	परिभाषा	उदाहरण
परिमेय संख्या (Rational)	p/q रूप (q ≠ 0, p व q पूर्णांक)	5/3, -8/1, 22/7, 4
अपरिमेय संख्या (Irrational)	p/q रूप में व्यक्त न हो सकने वाली	√2, √3, π

दशमलव और वर्गमूल वाली संख्याओं में परिमेय-अपरिमेय की पहचान

प्रत्येक वर्गमूल वाली संख्या अपरिमेय नहीं होती; जैसे √4 = 2 = 2/1, अतः √4 एक परिमेय संख्या है।
√0.4 = √(4/10) = 2/√10, जो कि एक अपरिमेय संख्या (Irrational) है क्योंकि हर में अपरिमेय मान बचता है।
√0.04 = √(4/100) = 2/10 = 1/5, अतः यह एक परिमेय संख्या (Rational) है।
√0.004 = √(4/1000) = 2/(10√10), अतः यह एक अपरिमेय संख्या (Irrational) है।
Must knowदशमलव के बाद सम संख्या में अंक (Even number of digits) होने पर पूर्ण वर्ग का मूल परिमेय बनता है, जबकि विषम अंक होने पर अपूर्ण मूल के कारण अपरिमेय रहता है।

पूर्णांक, पूर्ण और प्राकृतिक संख्याएँ (Integers, Whole, Natural)

परिमेय संख्याएँ दो श्रेणियों में बँटती हैं: पूर्णांक (Integer) और भिन्न (Fraction)।
संख्या रेखा पर 0 के दाईं ओर धनात्मक मान, बाईं ओर ऋणात्मक मान तथा बीच में 0 होता है; यह पूरा समूह पूर्णांक (Integer) कहलाता है।
शून्य (0) न तो धनात्मक (Positive) संख्या है और न ही ऋणात्मक (Negative); 0 एक तटस्थ (Neutral) संख्या है।
Must knowशून्य (0) एक परिमेय संख्या (Rational Number) है क्योंकि इसे 0/1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p = 0 और q = 1 (q ≠ 0)।
पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers) 0 से शुरू होकर धनात्मक अनंत तक जाती हैं (0, 1, 2, 3, ...)।
प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers) 1 से शुरू होकर अनंत तक जाती हैं (1, 2, 3, ...); सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है।
प्राकृतिक संख्याओं का सबसे बड़ा मान ज्ञात नहीं किया जा सकता (अनंत है)।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं पर गणितीय संक्रियाएँ (Operations)

दो परिमेय संख्याओं को जोड़ने, घटाने या गुणा करने पर परिणाम सदैव परिमेय संख्या (Rational) होता है।
दो परिमेय संख्याओं के भाग का परिणाम सदैव परिमेय होता है, केवल भाजक शून्य (0) नहीं होना चाहिए।
Must knowएक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग या अंतर सदैव अपरिमेय संख्या (Irrational) होता है (उदा. 2 + √3 = अपरिमेय)।
एक शून्येतर परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय होता है, लेकिन यदि परिमेय संख्या 0 हो तो गुणनफल 0 (परिमेय) हो जाता है।
दो अपरिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणा या भाग परिमेय या अपरिमेय में से कुछ भी हो सकता है।
यदि x और y अपरिमेय हैं, तो उनका योग x + y परिमेय तभी होगा जब x = -y हो (उदा. √2 + (-√2) = 0)।

दशमलव संख्याओं के प्रकार: शांत और असांत (Terminating & Non-Terminating)

दशमलव संख्याएँ दो भागों में विभाजित होती हैं: परिमेय और अपरिमेय।
परिमेय दशमलव दो प्रकार के होते हैं: शांत दशमलव (Terminating) और असांत आवर्ती दशमलव (Non-terminating Repeating)।
शांत दशमलव में दशमलव के बाद निश्चित अंकों पर भाग समाप्त हो जाता है (उदा. 1/2 = 0.5, 1/4 = 0.25)।
असांत आवर्ती में दशमलव के बाद अंक बार-बार दोहराते हैं और समाप्त नहीं होते (उदा. 1/3 = 0.3333...)।
Must knowअपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सदैव असांत अनावर्ती (Non-terminating Non-repeating) होता है (उदा. √2 = 1.414...)।

शुद्ध आवर्ती और मिश्रित आवर्ती दशमलव (Pure & Mixed Recurring)

असांत आवर्ती दशमलव दो प्रकार के होते हैं: शुद्ध आवर्ती (Pure Recurring) और मिश्रित आवर्ती (Mixed Recurring)।
शुद्ध आवर्ती दशमलव (Pure Recurring): इसमें दशमलव बिंदु के तुरंत बाद अंकों का दोहराव शुरू हो जाता है (उदा. 0.222..., 0.121212...)।
मिश्रित आवर्ती दशमलव (Mixed Recurring): इसमें दशमलव बिंदु के बाद एक या अधिक गैर-आवर्ती अंक आते हैं, फिर दोहराव शुरू होता है (उदा. 0.1232323..., 1.4363636...)।
Must knowआवर्ती दशमलव (Repeating decimal) सदैव परिमेय संख्या (Rational number) का रूप होते हैं।

शांत दशमलव की पहचान करने का नियम

किसी भिन्न का दशमलव रूप शांत (Terminating) होगा या नहीं, इसकी पहचान उसके हर (Denominator) के अभाज्य गुणनखंड से होती है।
सबसे पहले दी गई परिमेय संख्या को उसके सरलतम रूप (Simplest form) में बदलते हैं।
Must knowयदि सरलतम रूप के हर के अभाज्य गुणनखंड में केवल 2 की घात या 5 की घात (2^a × 5^b) हो, तो वह शांत दशमलव (Terminating decimal) होता है।
यदि हर में 2 और 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य संख्या (जैसे 3, 7, 11) आ जाए, तो वह असांत (Non-terminating) बन जाता है।
उदाहरण: 7/20 में हर 20 = 2² × 5¹ है, अतः यह शांत दशमलव है।
उदाहरण: 5873/128 में हर 128 = 2⁷ है, अतः यह भी शांत दशमलव है।

विशेष भ्रमित करने वाले मान: 0, π, और 22/7 की तुलना

शून्य (0) एक परिमेय संख्या (Rational) है क्योंकि इसे 0/1 लिखा जा सकता है।
π (पाई) वृत्त की परिधि (Circumference) और व्यास (Diameter) का अनुपात (c/d) होता है।
Must knowπ एक अपरिमेय संख्या (Irrational) है क्योंकि इसका वास्तविक मान 3.141592... कभी समाप्त या दोहराव नहीं करता (Non-terminating Non-repeating)।
Must know22/7 एक परिमेय संख्या (Rational) है क्योंकि यह p/q के रूप में पूर्णांकों का अनुपात है; 22/7 केवल π का सन्निकट (Approximate) मान है, वास्तविक नहीं।
3.14 एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 314/100 लिखा जा सकता है, जबकि 3.142... अनंत तक जाने पर अपरिमेय है।
√(75)/√(3) = √(75/3) = √(25) = 5 = परिमेय संख्या है, यद्यपि यह प्रारंभ में अपरिमेय जैसा दिखता है।

Key terms

सम्मिश्र संख्या (Complex Number): वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं का सम्मिलित रूप (a + ib)
वास्तविक संख्या (Real Number): वे संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है
अपरिमेय संख्या (Irrational Number): वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता और जिनका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है
शांत दशमलव (Terminating Decimal): वह दशमलव प्रसार जिसका हर केवल 2 या 5 या दोनों के गुणनखंड से बना हो और भाग समाप्त हो जाए
शुद्ध आवर्ती दशमलव (Pure Recurring Decimal): वह दशमलव जिसमें दशमलव बिंदु के तुरंत बाद अंकों का दोहराव शुरू हो जाता है
मिश्रित आवर्ती दशमलव (Mixed Recurring Decimal): वह दशमलव जिसमें दशमलव के बाद कुछ अंकों को छोड़कर आगे दोहराव शुरू होता है

Quick revision

Read these the night before the exam.

संख्या रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या (Real Number) को दर्शाता है।
शून्य (0) न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक; यह एक तटस्थ (Neutral) संख्या है।
शून्य (0) एक परिमेय संख्या (Rational Number) है।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या (Natural Number) 1 होती है।
पाई (π) एक अपरिमेय संख्या है, जबकि 22/7 एक परिमेय संख्या है।
एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या का योगफल सदैव अपरिमेय होता है।
दो अपरिमेय संख्याओं का योग परिमेय भी हो सकता है और अपरिमेय भी।
किसी भिन्न का दशमलव रूप शांत होने के लिए उसके हर में केवल 2 या 5 की घात होनी चाहिए।
सभी आवर्ती दशमलव (Recurring decimals) सदैव परिमेय संख्याएँ होते हैं।
√(75)/√(3) को सरल करने पर 5 प्राप्त होता है, जो कि एक परिमेय संख्या है।

Score 0 / 0 answered7 questions

Q1.संख्या रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु निम्नलिखित में से किसे दर्शाता है?
Q2.निम्नलिखित में से कौन सी संख्या अपरिमेय (Irrational) है?
Q3.शून्य (0) के संबंध में कौन सा कथन सत्य है?
Q4.यदि x और y दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो (x + y) परिमेय कब होगा?
Q5.निम्नलिखित में से कौन सी भिन्न एक शांत दशमलव (Terminating Decimal) है?
Q6.संख्या 1.4363636... किस प्रकार का दशमलव प्रसार है?
Q7.√(75) / √(3) का मान किस प्रकार की संख्या है?

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